Question

14．若x₁，x₂是方程4x²-4mx+（m-1）²+2=0的两个实根，则x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$的最小值为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根据韦达定理可得x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$，结合△≥0求出m的范围，再由二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：若x₁，x₂是方程4x²-4mx+（m-1）²+2=0的两个实根，
则x₁+x₂=m，x₁•x₂=$\frac{（m-1）^{2}+2}{4}$，
∴x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m²-$\frac{{（m-1）}^{2}+2}{2}$=$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$，
由△=16m²-16[（m-1）²+2]≥0得：m≥$\frac{3}{2}$，
故当m=$\frac{3}{2}$时，x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$的最小值为$\frac{9}{8}$，
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．