Question

1．设f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）．
（1）设m∈R，函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+m，x≥0}\\{f（x），x＜0}\end{array}\right.$为奇函数，求b+c的值；
（2）若f（x）=x没有实数根，问：f（f（x））=x是否有实数根？并证明你的结论；
（3）若对一切θ∈R，有f（$\frac{2}{sinθ}$）≥0，且f（2+$\frac{1}{1+ta{n}^{2}θ}$的最大值为1，求b、c满足的条件．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，以及分段函数的解法得到a，b，c．
（2）由复合函数化简，得到恒成立问题．
（3）考查恒成立以及最值问题，由单调性得到结论．

解答 （1）∵g（x）为奇函数
∴g（0）=0．∴m=0
∴当x≥0时，g（x）=-x²+2x
当x＜0时，f（-x）=-x²-2x，
∴f（x）=x²+2x
∴b=2，c=0
∴b+c=2
（2）f（f（x））=x，则f（x）=x
∵f（x）=x无实根
∴f（f（x））=x无实根
（3）∵sinθ∈[-1，1]，
∴$\frac{2}{sinθ}∈（-∞，-2]∪[2，+∞）$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）≥0}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-2b+c≥0}\\{4+2b+c≥0}\end{array}\right.$ 
∴c≥-4
又f（x）在（-∞，-2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，
∴f（3）=1
9+3b+c=1
∴b，c满足c≥-4且3b+c=-8

点评 本题考查奇函数的定义，分段函数，复合函数化简，恒成立以及最值问题．