Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如表：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{17π}{6}$
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式；
（2）根据（1）的结果：
（ i）当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，方程f（3x）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（ ii）若α，β是锐角三角形的两个内角，试比较f（sinα）与f（cosβ）的大小．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A、B，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）（ i）由题意可得y=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1的图象和直线y=m在[0，$\frac{π}{3}$]上恰好有两个不同的交点，数形结合求得m的范围；
（ ii）由条件可得f（x）在$[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$上单调递增，故在[0，1]上单调递增，且α、β是锐角三角形的两个内角，α+β＞$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β，由此可得f（sinα）与f（cosβ）的大小关系．

解答 解：（1）设f（x）的最小正周期为T，则由表格可得T=$\frac{11π}{6}$-（-$\frac{π}{6}$）=2π=$\frac{2π}{ω}$，得ω=1，
再根据$\left\{\begin{array}{l}{B+A=3}\\{B-A=-1}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{A=2}\\{B=1}\end{array}\right.$，
再根据五点法作图，可得令ω•$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，即$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1．
（2）（ i）f（3x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1，令t=3x-$\frac{π}{3}$，∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴t∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
如图，s=sint 在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上有两个不同的解，则s∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴方程 f（3x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1=2s+1=m在x∈[0，$\frac{π}{3}$]时恰好有两个不同的解，则m∈[$\sqrt{3}$+1，3），
即实数m的取值范围是[$\sqrt{3}$+1，3）．
（ ii）由$-\frac{π}{2}≤x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}$得$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{6}$，
∴f（x）在$[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$上单调递增，故在[0，1]上单调递增．
∵α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β，
∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，且sinα，cosβ∈[0，1]，于是f（sinα）＞f（cosβ）．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A、B，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．