Question

已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切。

（Ⅰ） （ⅰ）求椭圆的方程；   （ⅱ）求动圆圆心轨迹的方程；

（Ⅱ） 在曲线上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得，

则所求椭圆方程.　…………3分　　　　　　　　

（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.  …………6分

（Ⅱ）当直线MN的斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，

从而. …………8分

设直线的斜率为，则,直线的方程为：  直线PQ的方程为，

设

由，消去可得…………9分

由抛物线定义可知：

由，消去得，…………10分

从而，          

∴…………11分

令，∵k>0，则  则

…………12分

所以          所以四边形面积的最小值为8.   

_{的最后一步另解：}