Question

已知函数f（x）=x³-3ax，（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）求函数y=f（x）在x∈[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入，求出函数的导数，利用导数求出其单调区间即可．
（2）求出函数的导数，利用导数研究函数在区间[0，1]上的单调性，求出最小值即可．本题中导数带着参数，故求解时要对其范围进行讨论．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x，所以f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0得x=±1，列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间是（-1，1）（6分）
（2）由f(x)=x3-3ax，(a＞0)，得f′(x)=3x3-3a=3(x+

a

)(x-

a

)∵x∈[0，1]
①当0＜a＜1时，

x	0	(0， a )	a	( a ，1)	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	0	↗	-2a a	↗	1-3a

当x=

a

时，f(x)取得最小值，最小值为-2a

a

．（9分）
②当a≥1时，f'（x）≤0，f（x）在x∈[0，1]上是减函数，当x=1时，f（x）取得最小值，最小值为1-3a．
综上可得：f(x)min=

-2a a ，(0＜a＜1) 1-3a．(a≥1)

（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，求解的关键是正确求出函数的导数，以及根据参数的取值范围及导数得出函数的单调区间，确定最值的存在位置．列表表示函数的性质比较直观，解题时要善于运用．