Question

13．如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为AB，DA上的动点，设AP=x，AQ=y．
（1）当x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{2}$，求∠PCQ的大小；
（2）若△APQ的周长为2，
①求x，y之间的函数关系式y=f（x）；
②设△PCQ的面积为S，求S的最小值．
（参考公式：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc）

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正切公式先求出∠DCQ+∠BCP的值即可求出∠PCQ的大小；
（2）①由已知可得PQ=2-x-y，根据勾股定理有（2-x-y）²=x²+y²，即可求x，y之间的函数关系式y=f（x）；
②表示△PCQ的面积，利用基本不等式求S的最小值．

解答 解：（1）当x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{2}$时，当AP=$\frac{2}{3}$，AQ=$\frac{1}{2}$，
则DQ=$\frac{1}{2}$，BP=$\frac{1}{3}$，
则tan∠DCQ=$\frac{1}{2}$，tan∠BCP=$\frac{1}{3}$，
tan（∠DCQ+∠BCP）=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1 
∵∠DCQ+∠BCP∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴∠DCQ+∠BCP=$\frac{π}{4}$，
∴∠PCQ=$\frac{π}{2}$-（∠DCQ+∠BCP）=$\frac{π}{4}$；
（2）①由已知可得PQ=2-x-y，根据勾股定理有（2-x-y）²=x²+y²，
化简得：y=$\frac{2x-2}{x-2}$（0＜x＜1）；
②S=1-$\frac{1}{2}xy$-$\frac{1}{2}$（1-x）-$\frac{1}{2}$（1-y）=$\frac{1}{2}$（x+y-xy）=$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2-x}$，
令t=2-x，t∈（1，2），
∴S=$\frac{1}{2}$•（t+$\frac{2}{t}$）-1，
∴t=$\sqrt{2}$时，S的最小值为$\sqrt{2}$-1．

点评 本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及三角函数知识，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强，有一定的难度．