Question

4．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为线段A₁B上的动点，则下列结论正确的有（　　）
①三棱锥M-DCC₁的体积为定值    ②DC₁⊥D₁M
③∠AMD₁的最大值为90°   ④AM+MD₁的最小值为2．

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①由A₁B∥平面DCC₁D₁，可得线段A₁B上的点M到平面DCC₁D₁的距离都为1，又△DCC₁的面积为定值$\frac{1}{2}$，即可得出三棱锥M-DCC₁的体积为定值．
②由A₁D₁⊥DC₁，A₁B⊥DC₁，可得C₁⊥面A₁BCD₁，即可判断出正误．
③当0＜A₁P＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，利用余弦定理即可判断出∠APD₁为钝角；
④将面AA₁B与面A₁BCD₁沿A₁B展成平面图形，线段AD₁即为AP+PD₁的最小值，再利用余弦定理即可判断出正误．

解答 解：①∵A₁B∥平面DCC₁D₁，∴线段A₁B上的点M到平面DCC₁D₁的距离都为1，又△DCC₁的面积为定值$\frac{1}{2}$，因此三棱锥M-DCC₁的体积V=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$为定值，故①正确．
②∵A₁D₁⊥DC₁，A₁B⊥DC₁，∴DC₁⊥面A₁BCD₁，D₁P?面A₁BCD₁，∴DC₁⊥D₁P，故②正确．
③当0＜A₁P＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在△AD₁M中，利用余弦定理可得∠APD₁为钝角，∴故③不正确；
④将面AA₁B与面A₁BCD₁沿A₁B展成平面图形，线段AD₁即为AP+PD₁的最小值，
在△D₁A₁A中，∠D₁A₁A=135°，利用余弦定理解三角形得AD₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos13{5}^{°}}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$＜2，故④不正确．
因此只有①②正确．
故选：A．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行于垂直的判断与性质定理、空间角与空间距离，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．