Question

14．已知函数f（x）=xlnx-a（x-1）²-x+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）＜0对x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断函数的单调性，利用求导，判断导函数与0的关系，问题得解决；
（Ⅱ）求f（x）＜0恒成立，求参数a的取值范围，设h（x）=lnx-$\frac{（x-1）（ax-a+1）}{x}$，求导，利用分类讨论的思想，问题得以解决．

解答 解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，
x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）有极小值f（1）=0，无极大值；
（Ⅱ）f（x）=xlnx-a（x-1）²-x+1＜0，在（1，+∞）恒成立．
①若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）为增函数．
∴f（x）＞f（1）=0，
即f（x）＜0不成立；∴a=0不成立．
②∵x＞1，lnx-$\frac{（x-1）（ax-a+1）}{x}$＜0，在（1，+∞）恒成立，
不妨设h（x）=lnx-$\frac{（x-1）（ax-a+1）}{x}$，x∈（1，+∞）
h′（x）=-$\frac{（x-1）（ax+a-1）}{{x}^{2}}$，x∈（1，+∞）
h′（x）=0，x=1或$\frac{1-a}{a}$，
若a＜0，则$\frac{1-a}{a}$＜1，x＞1，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1）=0（不合题意）；
若0＜a＜$\frac{1}{2}$，x∈（1，$\frac{1-a}{a}$），h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1）=0（不合题意）；
若a≥$\frac{1}{2}$，x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）为减函数，h（x）＜h（1）=0（符合题意）．
综上所述若x＞1时，f（x）＜0恒成立，则a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性与导函数的关系，并如何利用分类讨论的思想求函数在某区间上恒成立，参数的取值范围．