Question

3．已知函数f（x）=$\frac{tx+b}{{c{x^2}+1}}$（t，b，c为常数，t≠0）．
（Ⅰ）若c=0时，数列{a_n}满足条件：点（n，a_n）在函数y=f（x）的图象上，求{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a₃=7，S₄=24，p，q∈N^*（p≠q），证明：S_p+q＜$\frac{1}{2}$（S_2p+S_2q）．

Answer 1

分析 （I）有题意可得a_n=f（n）=tn+b，利用定义判断{a_n}为等差数列，再代入前n项和公式得出S_n；
（II）列方程解出首项和公差，得出S_p+q和S_2p+S_2q，利用作差法证明结论．

解答 解：（I）c=0时，f（x）=tx+b
∵点（n，a_n）在函数y=f（x）的图象上，
∴a_n=f（n）=tn+b．
∴a_n-a_n-1=tn+b-[t（n-1）+b]=t，（n≥2）
∴{a_n}是首项是a₁=t+b，公差为d=t的等差数列．
∴S_n=n（t+b）+$\frac{n（n-1）}{2}×t$=nb+$\frac{n（n+1）}{2}t$．
（Ⅱ）证明：∵a₃=7，S₄=24，∴$\left\{\begin{array}{l}{（t+b）+2t=7}\\{4（t+b）+6t=24}\end{array}\right.$
解得t=2，b=1．∴a_n=2n+1．
∴S_n=$\frac{3+2n+1}{2}×n$=n²+2n．
∴S_p+q=[（p+q）²+2（p+q）]=p²+q²+2pq+2p+2q，
$\frac{1}{2}$（S_2p+S_2q）=2p²+2p+2q²+2q，
∴S_p+q-$\frac{1}{2}$（S_2p+S_2q）=-p²-q²+2pq=-（p-q）²．
又p≠q，∴S_p+q-$\frac{1}{2}$（S_2p+S_2q）=-（p-q）²＜0．
∴S_p+q＜$\frac{1}{2}$（S_2p+S_2q）．

点评 本题考查了等差数列的判断，等差数列的前n项和公式，属于中档题．