Question

1．已知圆C₁：x²+y²=4，圆C₂：x²+y²+2ay-2=0（a＞0）．
（1）若圆C₁与圆C₂相外切，你能求出a的取值范围吗？
（2）若圆C₁与圆C₂的公共弦长的取值范围是（0，2$\sqrt{3}$]，你能求出a的取值范围吗？

Answer 1

分析 （1）利用圆C₁与圆C₂相外切，圆心距等于半径和，建立方程，即可求出a的取值范围；
（2）求出圆C₁与圆C₂的公共弦的方程，根据圆C₁与圆C₂的公共弦长的取值范围是（0，2$\sqrt{3}$]，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）圆C₁：x²+y²=4的圆心坐标为（0，0），半径为2，圆C₂：x²+y²+2ay-2=0的圆心坐标为（0，-a），半径为$\sqrt{{a}^{2}+2}$，
∵圆C₁与圆C₂相外切，
∴|a|=2+$\sqrt{{a}^{2}+2}$，又a＞0，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）圆C₁与圆C₂的公共弦的方程为ay+1=0，即y=-$\frac{1}{a}$，
∵圆C₁与圆C₂的公共弦长的取值范围是（0，2$\sqrt{3}$]，
∴0＜2$\sqrt{4-\frac{1}{{a}^{2}}}$≤2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜a≤1．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查圆C₁与圆C₂的公共弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．