Question

【题目】四棱锥中，面，底面为菱形，且有，，，为中点．

（1）证明：面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值为

【解析】

（1）因为菱形的对角线互相垂直，所以，再由的中位线，得到，结合面，所以面，从而．最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到面；

（2）以为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立如图所示坐标系，则可得到、、、各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面和平面的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值．最后根据题意，二面角是锐二面角，得到二面角平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值．

解：（1）设为底面的中心，连接，

底面为菱形，

中，、分别是、的中点

又面，

面

面，

又、是平面内的两条相交直线

面

（2）以为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立如图所示坐标系，则可得

设是平面一个法向量

由，解得，

所以取，，，可得，

因为平面，所以向量即为平面的一个法向量，设

根据题意可知：二面角是锐二面角，其余弦值等于

二面角的平面角的余弦值为．