【题目】已知函数(
为自然对数的底数),
为
的导函数,且
.
(1)求实数的值;
(2)若函数在
处的切线经过点
,求函数
的极值;
(3)若关于的不等式
对于任意的
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)函数
的极小值为
,极大值为
;(3)
.
【解析】
(1)求出函数的导数
,由
,可求出实数
的值;
(2)利用导数求出函数在
处的切线方程,将点
代入切线方程,可求出实数
的值,然后利用导数求出函数
的极值点,并列表分析函数
的单调性,由此可得出函数
的极小值和极大值;
(3)方法1:由,得
,
,然后分
和
两种情况讨论,在
时可验证不等式成立,在
时,由参变量分离法得
,并构造函数
,并利用导数求出函数
在区间
上的最小值,由此可得出实数
的取值范围;
方法2:解导数方程,得出
,
,然后分
,
,
,
和
五种情况讨论,分析函数
在区间
上的单调性,求出函数
的最大值
,再解不等式
可得出实数
的取值范围.
(1)因为,所以
,
又因为,所以
,解得
.
(2)因为,所以
.
因为,所以
.
因为,函数在
处的切线方程为
且过点
,
即,解得
.
因为,令
,得
,列表如下:
极大值 | 极小值 |
所以当时,函数
取得极小值
,
当时,函数
取得极大值为
;
(3)方法1:因为在
上恒成立,
所以在
上恒成立.
当时,
成立;
当时,
恒成立,记
,
,
则.
令,
,
则,所以函数
在区间
上单调递增,
所以,即
在区间
上恒成立.
当,令
,得
,
所以,函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以,所以,
,
因此,实数的取值范围是
;
方法2:由(1)知,,
所以.
令,得
,
.
①当时,即
时,函数
在区间
上单调递减,
由题意可知,满足条件;
②当时,即
时,函数
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
由题意可知,解得
;
③当时,即
时,
函数在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减,
由题意可知,解得
,所以
;
④当时,即
时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
由题意可知,解得
.
又因为,所以
;
⑤当时,即
时,
函数在
上单调递减,
上单调递增,在
上单调递减,
由题意可知,即
.
令,则
,设
,
则,所以,函数
在区间
上单调递增,
又因为时,
,所以
在区间
上恒成立,所以
.
综上,,因此,实数
的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年 份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=
,
=
-
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】政府为了稳定房价,决定建造批保障房供给社会,计划用万的价格购得一块建房用地,在该土地上建
幢楼房供使用,每幢楼的楼层数相同且每层建
套每套
平方米,经测算第
层每平方米的建筑造价
(元)与
满足关系式
(其中
为整数且被
整除) ,根据某工程师的个人测算可知,该小区只有每幢建
层时每平方米平均综合费用才达到最低,其中每平方米
.
(1)求的值;
(2)为使该小区平均每平方米的平均综合费用控制在元以内,每幢至少建几层?至多造几层?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数
(1)若函数在
上递减,在
上递增,求实数
的值.
(2)若函数在定义域上不单调,求实数
的取值范围.
(3)若方程有两个不等实数根
,求实数
的取值范围,并证明
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四面体ABCD中,,
,二面角
的大小为
,
,
.
(1)若,M是BC的中点,N在线段DC上,
,求证:
平面AMN;
(2)当BP与平面ACD所成角最大时,求的值.
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