Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求在上的最小值；

（2）若直线是函数的切线方程，求实数的值；

（3）若，证明：对任意实数，恒成立．

Answer 1

【答案】（1）0（2）（3）见解析

【解析】

(1)求出函数的到函数，可得的单调性，从而得出其最小值.
(2) 设切点为,由直线是函数的切线方程，则，即，又，即，即得，即求出函数的零点即可.

(3) 因为，所以当时，,所以当时，,设，可得恒成立，且，则时，，即，即，同理可得，从而可证.

解：（1）由于，则，从而在单调递增，从而．

（2），由题可知，设切点为，
则由，整理得．

当时，不可能；当时，得①．

又，即②．

由①②可得，．

令，则，注意到．

令，则，注意到．

令，则恒成立．

可得时，，时，，所以恒成立，

所以在上单调递增，可知是方程的唯一解．

所以切点为，．

（3）因为，

所以当时，③，

所以当时，④，

令，则．

当时，；当时，，所以恒成立，且．

设，则．

此时，即，结合③，得，

即，得到，成立

，即，结合④，得，

即，得到，

所以，成立，

所以成立，得证．