Question

【题目】如图，四面体ABCD中，，，二面角的大小为，，．

（1）若，M是BC的中点，N在线段DC上，，求证：平面AMN；

（2）当BP与平面ACD所成角最大时，求的值．

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）取的中点，连接，利用中位线的性质以及面面平行的判定定理证得平面平面，由此证得平面.（2）作出直线与平面所成的角，根据所成角的最大值，求得的值.

（1）取DN的中点E，连接PE、BE．

，，PE、BE是平面AMN外两条相交直线，

所以平面平面AMN，

所以平面AMN.

（2）作与G，在平面DAC内作交AD于H，二面角的平面角为,因为，所以H为AD的中点，得是正三角形．

易得平面平面DAC，作，则为GH的中点，,

连接PI，根据面面垂直的性质定理，有平面.则是BP与平面ACD所成角．在中，，为定值，故当时，即最短时，取得最大值，取得最大，在中,,，故，,故．