Question

设二次函数在[－1，4]上的最大值为12，且关于x的不等式的解集为（0，5）．

（1）求的解析式；

（2）若对任意的实数x都有恒成立，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

试题分析：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个”二次，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点值符合四个方面分析；（3）二次函数的综合问题应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想

试题解析：解：（1）依题意可设二次函数的解析式为f（x）=ax（x-5）且a>0，则

∴f（x）=ax（x-5）=a（x-2．5）2-6．25a

又∵f（x）在[-1,4]上的最大值为12

∴6a=12 ? a=2

∴

（2）解法一：设t=1-，则0≤t≤2

∴f（2-2cosx）<f（1--m）

?2·2t·（2t-5）<2·（t-m）·（t-m-5）

?（3t-m-5）（t+m）<0

∴实数m的取值范围为

解法二：因为f（x）的对称轴为且其图象开口向上

所以f（2-2cosx）<f（1--m）等价于

|2-2cosx-|<|1--m-| 即|2cosx+|<|+m+|

令即|2t-|<|t+m|

∴实数m的取值范围为 ．

考点：（1）求二次函数的解析式；（2）恒成立的问题