【题目】已知,且
,函数
,其中
为自然对数的底数:
(1)如果函数为偶函数,求实数
的值,并求此时函数的最小值;
(2)对满足,且
的任意实数
,证明函数
的图像经过唯一的定点;
(3)如果关于的方程
有且只有一个解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)
的最小值为2(2)见解析(3)
,或
【解析】试题分析:(1)由函数为偶函数可得
,从而求出
,需代入检验,结合基本不等式即可求出此时函数的最小值;(2)假设
过定点
,则
对任意
,且
恒成立,可分别令
和
,从而得出定点;(3)令
,且
,则方程
存在一个解,分别讨论
和
时函数的单调性,即可得出实数
的取值范围.
试题解析:(1)由得:
,解得
(舍),或
,
经检验为偶函数
∴.
又,当且仅当
时取等号,
∴的最小值为2.
(2)假设过定点
,则
对任意
,且
恒成立.
令得:
;令
得:
,
∴,
,解得唯一解
∴
经检验当时,
∴函数的图像经过唯一定点
.
(3)令为
上连续函数,且
,则方程
存在一个解.
当
时,
为增函数,此时
只有一解.
当
时,令
,解得
.
因为,
,
,令
,
为增函数.
所以当时,
,所以
,
为减函数;
当时,
,所以
,
为增函数.
所以,又
定义域为
,所以
.
①若,
在
上为减函数,
,而
.
所以时,
至少存在另外一个零点,矛盾!
②若,
在
上为增函数,
,而
,所以
在
存在另外一个解,矛盾!
③当,则
,解得
,此时方程为
,
由(1)得,只有唯一解,满足条件
综上,当,或
时,方程
有且只有一个解.
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【题目】已知函数
有极值,且函数
的极值点是
的极值点,其中
是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)
(1)求关于
的函数关系式;
(2)当时,若函数
的最小值为
,证明:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数为定义在
上的奇函数.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)判断在定义域
上的单调性,并用函数单调性定义给予证明;
(Ⅲ)若关于的方程
在
上有解,求实数
的取值范围.
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【题目】了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格,成绩在6至8米(含6米不含8米)的为及格,成绩在8米至12米(含8米和12米,假定该市初二学生掷实心球均不超过12米)为优秀.把获得的所有数据,分成五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有4名学生的成绩在10米到12米之间.
(Ⅰ)求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数;
(Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率;
(Ⅲ)若从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2 名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的2名学生来自不同组的概率.
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