【题目】已知,函数
.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,设函数
表示
在区间
上最大值与最小值的差,求
在区间
上的最小值.
【答案】(1)见解析(2).
【解析】试题分析:
(1)求出导函数
,其零点为-1和
,按这两个零点的大小分类讨论
的正负,得单调区间;
(2)当时,f(x)在区间
上单调递增,在区间
单调递减,在区间
单调递增.对区间
,由于
,然后按
的范围分类讨论得
的最值,从而求得
,此时可在每一类中求得
的最小值,最后比较最小值即得所求.
试题解析:
(1).因为
,所以当
或
时,
,当
,
.
在
,
上单调递增,在
单调递减.
(2)当时,由(1)知f(x)在区间
上单调递增,在区间
单调递减,在区间
单调递增.当
时,
,
在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,
,因此
在区间
上最大值是
.此时,最小值是
,所以
.
因为在区间
上单调递增,所以
最小值是
.
当时,
,
在
,
上单调递增,
所以,
.
所以.
综上在区间
上的最小值是
.
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【题目】已知函数f(x)=x3﹣
x2+x,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在区间[,2]上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅲ)当m<0时,试判断函数g(x)=-
其中f′(x)是f(x)的导函数)是否存在零点,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
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【题目】2017年交警统计了某路段过往车辆的车速大小与发生交通事故的次数,得到如表所示的数据:
车速x(km/h) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
事故次数y | 1 | 3 | 6 | 9 | 11 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程=
x+
;
(3)根据(2)所得速度与事故发生次数的规律,试说明交管部门可采取什么措施以减少事故的发生.
附:=
,
=
-
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【题目】已知,且
,函数
,其中
为自然对数的底数:
(1)如果函数为偶函数,求实数
的值,并求此时函数的最小值;
(2)对满足,且
的任意实数
,证明函数
的图像经过唯一的定点;
(3)如果关于的方程
有且只有一个解,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率
,
在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线(斜率存在)与椭圆相交于点
两点,且
的面积
,若
为线段
的中点.
点在
轴上投影为
,问:在
轴上是否存在两个定点
,使得
为定值,若存在求出
的坐标;若不存在,请说明理由.
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