Question

【题目】已知函数f（x）＝x3﹣x2+x，a∈R．

（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若f（x）在区间[，2]上单调递增，求a的取值范围；

（Ⅲ）当m＜0时，试判断函数g（x）＝-其中f′（x）是f（x）的导函数）是否存在零点，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）求出，对的正负判断，从而确定函数的单调性，即可求得函数的最值。

（Ⅱ）转化成在区间[，2]恒成立，再参变分离，转化成函数最值问题，利用基本不等式求最值即可。

（Ⅲ）将所求问题化简转化成方程在内是否有解，利用导数说明函数的单调性，再由即可判断原函数不存在零点。

（Ⅰ）当时，,

,

令得或.

当x变化时，，f(x)的变化情况如下表:

x
		+	0
f(x)		单调递增↗	极大值	单调递减↘

∴,

.

（Ⅱ）

∵在上是单调递增函数,

∴在上恒成立.

即：.

∵，

∴当且仅当时，成立.

∴

（Ⅲ）由题意可知，，

要判断是否存在零点，只需判断方程在内是否有解，

即要判断方程在内是否有解.

设,

,

可见，当时，在上恒成立.

∴在上单调递减，在上单调递减.

∵,

∴在和内均无零点。

故函数g（x）＝-无零点