【题目】已知函数f(x)=(2x-x2)ex-1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对任意x≥1,都有f(x)-mx-1+m≤0恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:
(1)求出导函数,由不等式
得增区间;由不等式
得减区间;
(2)设,由
可得
,下面只要在
的情况下研究问题.求出导函数
,要研究
的正负,因此再设
,再求出导函数
,可得
时,
,即
在
上是递减的,因此得
,按
和
分类讨论研究
的最大值可得结论.
试题解析:
(1)由已知得f′(x)=(-x2+2)ex-1,当f′(x)<0,即-x2+2<0时,x<-或x>
;
当f′(x)>0,即-x2+2>0时,- <x<
,所以f(x)在(-∞,-
)上单调递减,在(-
,
)上单调递增,在(
,+∞)上单调递减.
(2)令g(x)=(2x-x2)ex-1-mx-1+m,x≥1,
由已知可得g(2)≤0,即m≥-1,下面只要考虑m≥-1的情况即可.
g′(x)=(2-x2)ex-1-m,令h(x)=(2-x2)ex-1-m,则h′(x)=-(x2+2x-2)ex-1,
因为x≥1,所以x2+2x-2>0,所以h′(x)<0,
所以h(x)在[1,+∞)上单调递减,即g′(x)在[1,+∞)上单调递减,则g′(x)≤g′(1)=1-m.
①当1-m≤0,即m≥1时,此时g′(x)≤0,所以g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(1)=0,满足条件;
②当1-m>0,即-1≤m<1时,此时g′(1)>0,g′(2)=-2e-m<0,所以存在x0∈(1,2),使得g′(x0)=0,则当1<x<x0时,g′(x)>0;当x>x0时,g′(x)<0,所以g(x)在[1,x0]上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以当x∈[1,x0]时,g(x)≥g(1)=0,此时不满足条件.
综上所述,实数m的取值范围为[1,+∞).
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【题目】如图,已知圆与
轴的左右交点分别为
,与
轴正半轴的交点为
.
(1)若直线过点
并且与圆
相切,求直线
的方程;
(2)若点是圆
上第一象限内的点,直线
分别与
轴交于点
,点
是线段
的中点,直线
,求直线
的斜率.
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-c)2=a2-bc.
(1)求sinA;
(2)若a=2,且sinB,sinA,sinC成等差数列,求△ABC的面积.
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【题目】某校举行运动会,其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入,精确到0.1米)以上的进入决赛,把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频数是7.
(1)求进入决赛的人数;
(2)经过多次测试后发现,甲成绩均匀分布在8~10米之间,乙成绩均匀分布在8.5~10.5米之间,现甲,乙各跳一次,求甲比乙远的概率.
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【题目】如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是边长为的正方形
,另一部分是以
为直径的半圆,其圆心为
.规划修建的
条直道
,
,
将广场分割为
个区域:Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分),Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域,其中点
在半圆弧上,
分别与
,
相交于点
,
.(道路宽度忽略不计)
(1)若经过圆心,求点
到
的距离;
(2)设,
.
①试用表示
的长度;
②当为何值时,绿化区域面积之和最大.
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【题目】已知函数f(x)=x3﹣
x2+x,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在区间[,2]上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅲ)当m<0时,试判断函数g(x)=-
其中f′(x)是f(x)的导函数)是否存在零点,并说明理由.
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【题目】2017年交警统计了某路段过往车辆的车速大小与发生交通事故的次数,得到如表所示的数据:
车速x(km/h) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
事故次数y | 1 | 3 | 6 | 9 | 11 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程=
x+
;
(3)根据(2)所得速度与事故发生次数的规律,试说明交管部门可采取什么措施以减少事故的发生.
附:=
,
=
-
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【题目】如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点(2,4),圆
,过圆心
的直线l与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则
的最小值为________.
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