Question

11．已知直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ+2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），且C₁与C₂相交于A，B两点；
（1）当tanα=1时，判断直线C₁与曲线C₂的位置关系，并说明理由；
（2）当α变化时，求弦AB的中点P的普通方程，并说明它是什么曲线．

Answer 1

分析 （1）直线C₁化为普通方程、曲线C₂化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离与半径半径，即可得出结论；
（2）利用参数的几何意义，求出弦AB的中点P对应的参数，可得P的坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）当tanα=1时，直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）的普通方程为x-y+1=0，
曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ+2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），即ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1，圆心为（1，0），半径为1．  
圆心到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＞1，∴直线C₁与曲线C₂相离；
（2）直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入（x-1）²+y²=1，可得（1+tcosα-1）²+（2+tsinα）²=1，
即t²+4tsinα+3=0，
设A，B对应的参数为t₁，t₂，∴t₁+t₂=-4sinα，
∴弦AB的中点P对应的参数为-2sinα，
设P（x，y），则x=1-2sinαcosα，y=2-2sin²α，
∴x-1=-sin2α，y-1=cos2α，
∴（x-1）²+（y-1）²=1，表示以（1，1）为圆心，1为半径的圆．

点评 本题考查参数方程与普通方程、极坐标和直角坐标方程的互化，考查参数的几何意义，属于中档题．