【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若曲线的一条切线方程为
,
(i)求的值;
(ii)若时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析.(2)(i)1, (ii).
【解析】
(1)求导后,分和
两种情况,解得
与
的解集,可得
的单调性.
(2)(i)设切点为,由题意利用切线与导函数的关系建立方程组即可确定b的值;
(ii)将原问题转化为函数在给定区间上单调性的问题,利用导函数研究函数单调性的方法即可确定实数的取值范围.
由得
,
若,则
,即
在
上是增函数;
若,令
得
,令
得
,即
在
上是单调减函数,在
上是单调增函数.
(2)(i)设切点为,
得
由题意得
,消去
与
得
,令
,
,
时,
;
时,
;
时,
;
在
上是减函数,在
上是增函数,
,即
仅有一个零点
,即方程
仅有一个根
,
(ii)由(i)知,
即为
由知,上式等价于函数
在
为增函数
,即
,
令,
,
时,
;
时,
;
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
,则
,即
,所以实数
的范围为
.
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【题目】已知抛物线在第一象限内的点
到焦点
的距离为
.
(1)若,过点
,
的直线
与抛物线相交于另一点
,求
的值;
(2)若直线与抛物线
相交于
两点,与圆
相交于
两点,
为坐标原点,
,试问:是否存在实数
,使得
的长为定值?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】C反应蛋白(CRP)是机体受到微生物入侵或组织损伤等炎症性刺激时肝细胞合成的急性相蛋白,医学认为CRP值介于0-10mg/L为正常值下面是某患者在治疗期间连续5天的检验报告单中CRP值(单位:mg/L)与治疗天数的统计数据:
治疗天数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
CRP值y | 51 | 40 | 35 | 28 | 21 |
(1)若CRP值y与治疗天数x具有线性相关关系,试用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程,并估计该患者至少需要治疗多少天CRP值可以到正常水平;
(2)为均衡城乡保障待遇,统一保障范围和支付标准,为参保人员提供公平的基本医疗保障.某市城乡医疗保险实施办法指出:门诊报销比例为50%:住院报销比例,A类医疗机构80%,B类医疗机构60%.若张华参加了城乡基本医疗保险,他因CRP偏高选择在某医疗机构治疗,医生为张华提供了三种治疗方案:
方案一:门诊治疗,预计每天诊疗费80元;
方案二:住院治疗,A类医疗机构,入院检查需花费600元,预计每天诊疗费100元;
方案三:住院治疗,B类医疗机构,入院检查需花费400元,预计每天诊疗费40元;
若张华需要经过连续治疗n天,,请你为张华选择最经济实惠的治疗方案.
,
.
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【题目】是衡量空气污染程度的一个指标,为了了解
市空气质量情况,从
年每天的
值的数据中随机抽取
天的数据,其频率分布直方图如图所示.将
值划分成区间
、
、
、
,分别称为一级、二级、三级和四级,统计时用频率估计概率 .
(1)根据年的数据估计该市在
年中空气质量为一级的天数;
(2)如果市对环境进行治理,经治理后,每天
值
近似满足正态分布
,求经过治理后的
值的均值下降率.
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【题目】抛物线的焦点为
,准线为
,若
为抛物线上第一象限的一动点,过
作
的垂线交准线
于点
,交抛物线于
两点.
(Ⅰ)求证:直线与抛物线相切;
(Ⅱ)若点满足
,求此时点
的坐标.
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【题目】绿水青山就是金山银山.某山村为做好水土保持,退耕还林,在本村的山坡上种植水果,并推出山村游等旅游项目.为预估今年7月份游客购买水果的情况,随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额.分组如下:,
,
,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点作代表).
(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客,称为“水果达人”. 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系?
水果达人 | 非水果达人 | 合计 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
合计 |
(3)为吸引顾客,商家特推出两种促销方案.方案一:每满80元可立减10元;方案二:金额超过80元可抽奖三次,每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.若每斤水果10元,你打算购买12斤水果,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
附:参考公式和数据:,
.临界值表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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【题目】规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球是指该球的球心点
.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
(1)如图,设母球的位置为
,目标球
的位置为
,要使目标球
向
处运动,求母球
球心运动的直线方程;
(2)如图,若母球的位置为
,目标球
的位置为
,能否让母球
击打目标
球后,使目标
球向
处运动?
(3)若的位置为
时,使得母球
击打目标球
时,目标球
运动方向可以碰到目标球
,求
的最小值(只需要写出结果即可).
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