Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若曲线的一条切线方程为，

（i）求的值；

（ii）若时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析.(2)（i）1, （ii）.

【解析】

（1）求导后，分和两种情况，解得与的解集，可得的单调性.

（2）（i）设切点为，由题意利用切线与导函数的关系建立方程组即可确定b的值；

（ii）将原问题转化为函数在给定区间上单调性的问题，利用导函数研究函数单调性的方法即可确定实数的取值范围.

由得，

若，则，即在上是增函数；

若，令得，令得，即在

上是单调减函数，在上是单调增函数.

（2）（i）设切点为，得由题意得

，消去与得

，令，，

时，；时，；时，；

在上是减函数，在上是增函数，

，即仅有一个零点，即方程

仅有一个根，

（ii）由（i）知，

即为

由知，上式等价于函数在为增函数

，即，

令，，

时，；时，；时，

在上单调递减，在上单调递增，

，则，即，所以实数的范围为.