Question

12．已知p：函数y=x²+mx+1在（-∞，-1）上单调递减，q：函数y=4x²+4（m-2）x+1图象与x轴有公共点．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析 首先化简p，q命题，根据若p若q为真，p且q为假，得到p真q假，或p假q真，分两种情况求m的范围．

解答 解：p：函数y=x²+mx+1在（-∞-1）上单调递减，则$-\frac{m}{2}≥-1$，m≤2                …2分
q：函数y=4x²+4（m-2）x+1图象与x轴有公共点，
则△=16（m-2）²-16≥0，即（m-2）²≥1，解得m≤1或m≥3；                        …4分
若p或q为真，p且q为假，则p真q假，或p假q真                                             …6分
p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}m≤2\\ 1＜m＜3\end{array}\right.$，解得1＜m≤2                                                         …8分
p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}m＞2\\ m≤1或m≥3\end{array}\right.$，解得m≥3                                                     …10分

综上知p若q为真，p且q为假，1＜m≤2或m≥3．                                      …12分

点评 本题考查了复合命题的真假；一般的首先化简两个简单命题，然后根据复合命题的真假性得到两个命题的真假性，然后求范围．