Question

3．设F₁，F₂为椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的左、右焦点，动点P的坐标为（-1，m），过点F₂的直线与椭圆交于A，B两点．
（1）求F₁，F₂的坐标；
（2）若直线PA，PF₂，PB的斜率之和为0，求m的所有整数值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的方程，求得a和b的值，由c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，即可求得F₁（-1，0），F₂（1，0）；
（2）当直线AB的斜率不存时，由对称性可知，m=0，直线AB的斜率存在时，分别求得PA，PF₂，PB的斜率，根据三者的斜率之和为0，求得k与m的关系，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得x₁+x₂和x₁•x₂，代入上式，m=-$\frac{20k}{16{k}^{2}+1}$，k=0时，m=0，k≠0时，丨m丨=$\frac{20丨k丨}{丨16{k}^{2}+1丨}$，利用基本不等式关系，即可求得m的取值范围，求得m的所有整数值．

解答 解：（1）由椭圆的方程可知：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
（2）①当直线AB的斜率不存时，由对称性可知，m=0，
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，A（•，y₁），B（x₂，y₂），
由题意可知：x₁≠-1，x₂≠-1，
∴直线PA的斜率为$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{1}+1}$=$\frac{k{x}_{1}-（k+m）}{{x}_{1}+1}$，
直线PF₂的斜率为-$\frac{m}{2}$，
直线PB的斜率为$\frac{{y}_{2}-m}{{x}_{2}+1}$=$\frac{k{x}_{2}-（k+m）}{{x}_{2}+1}$，
∴$\frac{k{x}_{1}-（k+m）}{{x}_{1}+1}$+（-$\frac{m}{2}$）+$\frac{k{x}_{2}-（k+m）}{{x}_{2}+1}$=0，
化简整理得：（4k-m）x₁•x₂-3m（x₁+x₂）-（4k+5m）=0，
将直线AB方程y=k（x-1）代入椭圆的方程，化简整理得：
（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
代入整理得：16k²m+20k+m=0，
m=-$\frac{20k}{16{k}^{2}+1}$，
当k=0时，m=0，
当k≠0时，丨m丨=$\frac{20丨k丨}{丨16{k}^{2}+1丨}$≤$\frac{20丨k丨}{2\sqrt{16{k}^{2}}}$=$\frac{5}{2}$，
故m的所有整数是-2，-1，0，1，2．

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，韦达定理及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．