Question

7．设点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0），直线AC，BC相交于点C，且它们的斜率之积是-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（常数a，b为正实数）．
（Ⅰ）求点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，P，Q为轨迹E上的动点，且OP⊥OQ，求$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法求点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），利用极坐标方程求：$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$的值．

解答 解：（Ⅰ）设C（x，y），则由题意可得$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{x-a}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
化简可得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$；
（Ⅱ）$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$化为极坐标方程$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}+\frac{si{n}^{2}θ}{{b}^{2}}$
设P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}+\frac{si{n}^{2}θ}{{b}^{2}}$+$\frac{co{s}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{{a}^{2}}+\frac{si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．