Question

【题目】设，，，是椭圆：（）的四个顶点，四边形是圆：的外切平行四边形，其面积为.椭圆的内接的重心（三条中线的交点）为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据点到直线的距离以及菱形的面积公式可得到关于的二元二次方程组，解出方程组可得椭圆方程；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，易得三角形的面积，当直线斜率存在时，设直线的方程， ， ，联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理以及，由为重心，可得点坐标，点在椭圆上代入化简整理可得，利用弦长公式以及点到直线的距离公式求出及，由与整体代换思想相结合可得最后结果.

试题解析：（Ⅰ）因为四边形是圆外切平行四边形，所以，

又，所以，，

故所求椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线斜率不存在时，因为为的重心，故为左、右顶点，

不妨设，则直线的方程为，

易得，到直线的距离，

所以.

设直线方程为：，，.

由得，

则.

即，

∴，

∴.

∵为的重心，∴，

∵点在椭圆上，故有，

化简得.

∴.

又点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到）.

∴.

综上可得，的面积为定值.