Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线
其中真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：常规题型,空间位置关系与距离

分析：根据图对四个命题依次分析．

解答： 解：由图知，BC₁∥平面ACD₁，直线BC₁上的点到平面ACD₁的距离不变；V_A-D1PC=V_P-AD1C；其底面面积与高都不变，则体积不变；①正确；
由图知，P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小显然在变；②不正确；
由图知，BC₁∥平面ACD₁，二面角P-AD₁-C的大小恒等于平面ACD₁与面BC₁D₁A所成的锐角，故不变，③正确；
由图知，到点D和C₁距离相等的点在平面A₁D₁C上，故M点的轨迹是过D₁点的直线A₁D₁；故④正确．
故选：C．

点评：考查了学生的空间想象力，属于基础题．