Question

10．已知双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{2}$，且双曲线与抛物线x²=-4$\sqrt{3}$y的准线交于A，B，S_△OAB=$\sqrt{3}$，则双曲线的实轴长（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{2}$，可得$\sqrt{2}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，a=b．抛物线x²=-4$\sqrt{3}$y的准线为：y=$\sqrt{3}$．代入双曲线方程可得A，B的坐标，|AB|．利用S_△OAB=$\sqrt{3}$即可得出．

解答 解：双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，可得a=b．
抛物线x²=-4$\sqrt{3}$y的准线为：y=$\sqrt{3}$．
代入双曲线方程可得：$\frac{3}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}=1$，
解得x=±$\sqrt{3-{a}^{2}}$．
∴|AB|=2$\sqrt{3-{a}^{2}}$．
∴S_△OAB=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}|AB|$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3-{a}^{2}}$×$\sqrt{3}$，
解得a²=2，
∴a=$\sqrt{2}$．
则双曲线的实轴长为2$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，考查了数形结合方法、计算能力，属于中档题．