Question

15．若实数x，y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x≤1}\\{x-3y+1≥0}\\{2x+y+2≥0}\end{array}}\right.$，则该不等式表示的平面区域的面积为$\frac{14}{3}$；目标函数z=4x+3y的最大值为6．

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，得到三角形的面积，目标函数z=4x+3y可化为：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{z}{3}$，显然直线过A时，求出z的最大值即可．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-3y+1=0}\end{array}\right.$，解得：A（1，$\frac{2}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得：B（1，-4），
而C到AB的距离是2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•2=$\frac{14}{3}$，
目标函数z=4x+3y可化为：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{z}{3}$，
显然直线过A时，z最大，z的最大值是6，
故答案为：$\frac{14}{3}$，6．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．