Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；
（Ⅱ）求

3

sinA+sin（C-

π

6

）的取值范围．

Answer 1

分析：利用正弦定理化简已知条件，根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，由sinC不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数，
（Ⅰ）根据余弦定理，由b，cosB和a+c的值，求出ac的值，然后利用三角形的面积公式，由ac的值和sinB的值即可求出三角形ABC的面积；
（Ⅱ）由求出的B的度数，根据三角形的内角和定理得到A+C的度数，用A表示出C，代入已知的等式，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围．

解答：解：由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB-1）=0，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴2cosB-1=0，所以B=60°（3分）
（Ⅰ）由b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-3ac，
即7²=13²-3ac，得ac=40（5分）
所以△ABC的面积S=

1

2

acsinB=10

3

；（6分）
（Ⅱ）因为

3

sinA+sin(C-

π

6

)=

3

sinA+sin(

π

2

-A)
=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，（10分）
又A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
则

3

sinA+sin（C-

π

6

）=2sin（A+

π

6

）∈[1，2）．

点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．