Question

6．设函数f（x）=$\sqrt{2}$cosxsin（x-$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（$\frac{π}{3}$）的值与函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）由两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解f（$\frac{π}{3}$）的值，利用三角函数恒等变换的应用可求解析式f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）$-\frac{1}{2}$，利用周期公式即可得解．
（2）由已知可求范围2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，利用正弦函数的图象和性质可得$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，即可解得f（x）的单调减区间．

解答 解：（1）f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×$（sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×（\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}）$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
∵f（x）=$\sqrt{2}$cosxsin（x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cosx（sinxcos$\frac{π}{4}$-cosxsin$\frac{π}{4}$）=sinxcosx-cos²x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）$-\frac{1}{2}$．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴当$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，即$\frac{3π}{8}≤x≤\frac{π}{2}$，f（x）单调递减，
即f（x）的单调减区间为：[$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．