Question

【题目】已知数列{an}和{bn}满足，a1＝2，b1＝1，且对任意正整数n恒满足2an+1＝4an+2bn+1，2bn+1＝2an+4bn﹣1.

（1）求证：{an+bn}为等比数列，{an﹣bn}为等差列；

（2）求证（n＞1）.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1），．两式相加相减分别可得：，．又，，化简即可证明结论．

（2）由（1）可得：．利用数学归纳法，通过放缩即可证明结论．

证明：（1），．

两式相加相减分别可得：，．

，．

又，，

为等比数列，首项为3，公比为3．

为等差列，首项为1，公差为1．

（2）由（1）可得：．

利用数学归纳法先证明：．

时，，成立．

假设时成立，即．

时，

，

因此左边不等式成立．

利用数学归纳法先证明：．

时，，成立．

假设时，．

则时，

，

右边不等式成立．

综上可得：