Question

5．在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x₁，y₁），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转$\frac{π}{2}$后与单位圆交于点Q（x₂，y₂）．记f（α）=y₁+y₂．
（1）讨论函数f（α）的单调性；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=$\sqrt{2}$，且a=$\sqrt{2}$，c=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意确定出y₁与y₂，进而表示出f（α），利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据正弦函数的单调性即可确定出f（α）单调性；
（2）由f（C）=$\sqrt{2}$，结合（1）中解析式求出C的度数，再由a，c，cosC的值，利用余弦定理求出b的值，即可确定出三角形面积．

解答 解：（1）由题意得：y₁=sinα，y₂=sin（α+$\frac{π}{2}$）=cosα，
∴f（α）=y₁+y₂=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
则当$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，即0＜α≤$\frac{π}{4}$时，f（α）单调递增；当$\frac{π}{2}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，即$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$时，f（α）单调递减；
（2）∵f（C）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+C）=$\sqrt{2}$，即sin（$\frac{π}{4}$+C）=1，且C为三角形内角，
∴C=$\frac{π}{4}$，
在△ABC中，由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即1=2+b²-2b，
解得：b=1，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了余弦定理，任意角的三角函数定义，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．