Question

14．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值为2$\sqrt{2}$，最小值为$-\sqrt{2}$，周期为$\frac{2π}{3}$，且图象过点（0，-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$），
（1）这个函数的解析式；
（2）写出函数的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析 （1）由函数的周期求得ω 的值，由函数的最值求得A，B，根据图象过定点出φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）根据正弦函数的对称轴和对称中心即可求出．

解答 解：（1）函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值为2$\sqrt{2}$，最小值为$-\sqrt{2}$，周期为$\frac{2π}{3}$，
∴B=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，
∴ω=3，
∵图象过点（0，-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$），
∴$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（3×0+φ）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴sinφ=-$\frac{1}{2}$，
∵|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴y=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（3x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（2）令3x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴对称轴为x=$\frac{kπ}{3}$-$\frac{2π}{9}$，k∈z，
令3x-$\frac{π}{6}$=kπ得对称中心（$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{18}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），k∈z．

点评 本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式．解题的关键是对三角函数解析式中振幅，周期和初相的关系的灵活应用，属于中档题