Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0，f（x）=e^x-ax，若函数在R上有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：首先判断x=0不是零点，其次说明函数f（x）在x＞0和x＜0上均有两个零点，对x＞0的函数f（x）求导，对a讨论，说明a≤0不可能，a＞0时，求出单调区间，求出极小值，令它小于0，解出a的范围．

解答： 解：∵当x≥0时，f（x）=e^x-ax，
∴f（0）=e⁰-0=1，即x=0不是零点，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴函数f（x）在x＞0和x＜0上有相同的零点个数，
∵函数f（x）在R上有且仅有4个零点，
∴f（x）在x＞0上有且只有2个零点，
∵当x≥0时，f（x）=e^x-ax，
导数f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，
f（x）在x≥0上单调增，不可能有两个零点，
当a＞0时，可得f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（-∞，lna），
则f（lna）为极小值，令f（lna）＜0，
即e^lna-alna＜0，即a＜alna，lna＞1，
解得，a＞e，
故a的取值范围是（e，+∞）．
故答案为：（e，+∞）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性及应用，考查函数的零点的概念和个数的判断，考查运用导数求函数的极值，弄清极值与0的关系，是解题的关键．