Question

（本题满分13分）已知椭圆经过点（0，），离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求 的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)依题意得b=，，，∴ a=2，c=1，

   ∴ 椭圆C的方程.…………………………………………………………3分

(Ⅱ)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为：，求得l与y轴交于M(0，-k)，又F坐标为 (1，0)，设l交椭圆于，

由 消去y得，

，………5分

又由  ∴，

同理，

，

…………………7分

所以当直线l的倾斜角变化时，的值为定值.………………………………8分

（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK的中点，

猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点，…………………9分

证明：由（Ⅱ）知，，

当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点

，

当时，

.  ………………………………11分

∴点在直线上，同理可证，点也在直线上；

∴当m变化时，AE与BD相交于定点，  …………………………………13分