Question

已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆C相切，
（1）求圆C的方程；
（2）过点Q（0，-3）斜率为k的直线l与圆C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当k=3时，求x₁•x₂+y₁•y₂的值；
②当x₁•x₂+y₁•y₂=8时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设出圆心坐标为（a，0）且a＞0，利用圆与直线3x-4y+4=0相切得到圆心到直线的距离等于半径2求出a，即可得到圆的标准方程；
（2）①当k=3时，直线l的方程y+3=3x，代入圆的方程，利用韦达定理，即可求x₁•x₂+y₁•y₂的值；
②利用韦达定理，结合x₁•x₂+y₁•y₂=8，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）设圆心坐标为（a，0）且a＞0，
∵圆与直线3x-4y+4=0相切，
∴圆心到直线的距离等于半径2，即

|3a+4|

32+42

=2，求得a=2或a=-

14

3

（舍去），
∴a=2
∴圆心坐标为（2，0），半径为2的圆的标准方程为：（x-2）²+y²=4；
（2）①当k=3时，直线l的方程y+3=3x，
代入圆的方程，可得10x²-22x+9=0，
∴x₁•x₂=

9

10

，x₁+x₂=

11

5

，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+（3x₁-3）（3x₂-3）=10x₁•x₂-9（x₁+x₂）+9=-

9

5

②设直线l的方程为y+3=kx，
代入圆的方程，可得（1+k²）x²-（4+6k）x+9=0，
∴x₁•x₂=

9

1+k2

，x₁+x₂=

4+6k

1+k2

，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+（kx₁-3）（kx₂-3）=（1+k²）x₁•x₂-3k（x₁+x₂）+9
=9-3k•

4+6k

1+k2

+9，
∵x₁•x₂+y₁•y₂=8，
∴9-3k•

4+6k

1+k2

+9=8，
∴k=

-3± 29

4

，
经检验k=

-3+ 29

4

，满足题意，
∴直线l的方程为y=

-3+ 29

4

x-3．

点评：本题考查学生理解圆与直线相切时得到圆心到直线的距离等于半径，会用点到直线的距离公式求点到直线的距离，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．