Question

（1）用综合法证明：a+b+c≥

ab

+

bc

+

ca

（a，b，c∈R⁺）
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,反证法与放缩法

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据2（a+b+c）-2（

ab

+

bc

+

ca

）=（

a

-

b

）²+（

b

-

c

）²+（

c

-

a

）²≥0，可得2（a+b+c）≥2（

ab

+

bc

+

ca

），从而证得结论．
（2）用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．

解答： 证明：（1）由于2（a+b+c）-2（

ab

+

bc

+

ca

）=（

a

-

b

）²+（

b

-

c

）²+（

c

-

a

）²≥0，------（4分）
∴2（a+b+c）≥2（

ab

+

bc

+

ca

），
∴a+b+c≥

ab

+

bc

+

ca

．------（6分）
（2）证明：假设a，b，c都不大于0------（8分）
即a=x²-2y+

π

2

≤0，b=y²-2z+

π

3

≤0，c=z²-2x+

π

6

≤0，同时成立
则（x²-2y+

π

2

）+（y²-2z+

π

3

）+（z²-2x+

π

6

）≤0------（11分）
∴（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3≤0矛盾------（14分）
∴假设不成立
∴原命题成立．------（15分）

点评：本题主要考查用综合法（由因导果）证明不等式、分析法证（执果索因）明不等式，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．属于中档题．