Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，且a≤-2．
证明：对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，g（x）=f（x）+4x，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．

解答： 解：不妨假设x₁≤x₂．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．
所以|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等价于f（x₁）-f（x₂）≥4x₂-4x₁，
即f（x₂）+4x₂≤f（x₁）+4x₁．
令g（x）=f（x）+4x，则g′(x)=

a+1

x

+2ax+4=

2ax2+4x+a+1

x

，
∵g′(x)=

2ax2+4x+a+1

x

≤

-4x2+4x-1

x

=

-(2x-1)2

x

≤0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x₁）≥g（x₂）
即f（x₁）+4x₁≥f（x₂）+4x₂，
∴对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．属于中档题．