Question

3．某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯水价计量办法，具体如下：第一阶梯，每户居民月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求频率分布直方图中字母a的值，并求该组的频率； 
（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数m的值（保留两位小数）； 
（Ⅲ）如图2是该市居民张某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是$\widehat{y}$=2x+33，若张某2016年1～7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据小长方形的面积之和为1，即可求出a，
（Ⅱ）由频率分布直方图估计样本数据的中位数，规律是：中位数，出现在概率是0.5的地方，
（Ⅲ）根据回归方程即可求出答案

解答 解：（Ⅰ）∵（0.02+0.04+0.08+a+0.13+0.03+0.02）×2=1，
∴a=0.10，
第四组的频率为0.1×2=0.2，
（Ⅱ）∵0.02×2+0.04×2+0.08×2+0.10×2+（m-8）×0.13=0.5
∴m=8+$\frac{0.5-0.48}{0.13}$≈8.15．
（Ⅲ）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$（1+2+3+4+5+6）=$\frac{7}{2}$，且$\widehat{y}$=2x+33，
∴$\overline{y}$=2×$\frac{7}{2}$+33=40，
∴所以张某7月份的水费为312-6×40=72，
设张某7月份的用水吨数为x吨，
∵12×4=48＜72，
∴12×4+（x-12）×8=72，
解得x=15，
则张某7月份的用水吨数为15吨

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．