Question

若函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，且f（x-2）=-f（x），给出下列结论：①f（2）=0；②f（x）以4为周期；③f（x）的图象关于y轴对称；④f（x+2）=f（-x）．
这些结论中正确的有

①②④

．（必须填写序号）

Answer 1

分析：由题意，可先研究函数的 性质，再由函数的性质对四个命题①f（2）=0；②f（x）以4为周期；③f（x）的图象关于y轴对称；④f（x+2）=f（-x）真假，得出正确命题的序号．

解答：解：函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，故有f（0）=0，
又f（x-2）=-f（x），故有f（x）=-f（x+2），由此得f（x+2）=f（x-2）故函数的周期为4
在f（x）=-f（x+2）中令x=0得，在f（0）=-f（2）=0可得 f（2）=0
又f（x）=-f（x+2）可变为f（x+2）=-f（x）由函数f（x）是定义在实数集上的奇函数可得f（x+2）=f（-x）．
又奇函数的图象关于原点对称而非关于Y轴对称，故四个结论中正确的有①②④
故答案为①②④

点评：本题考查函数奇偶性的性质与函数的周期性，解题的关键是熟练掌握函数的奇函数的性质以及理解恒等式f（x-2）=-f（x），从而得出函数的周期，本题考查函数的基础概念，是近几年高考中常考的一种题型，一般出现在填空题的位置要注意探究此问题的解法规律