Question

【题目】已知函数，，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，证明：，当时，函数恒有两个不同零点.

Answer 1

【答案】（1）时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析

【解析】

（1）分别在和两种情况下讨论导函数的正负，从而得到原函数的单调性；

（2）将问题转化为当时，与恒有两个不同的交点的证明；利用导数可求得的单调性和最值，从而确定的范围，解得的范围.

（1）由题意得：，

①当时，，在上单调递增；

②当时，令，解得：，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）由题意得：，

令，解得：，

令，则问题等价于当时，与恒有两个不同的交点，

，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，又时，；时，，

当时，与恒有两个不同的交点，

即，与恒有两个不同的交点，

当时，在上恒有两个不同的零点.