Question

20．已知数列{a_n}是无穷数列，a₁=a，a₂=b（a，b是正整数），${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}\begin{array}{l}{\;}{（\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}＞1）}\end{array}，\\ \frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}\begin{array}{l}{\;}{（\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}≤1）}\end{array}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）若a₁=2，a₂=1，写出a₄，a₅的值；
（Ⅱ）已知数列{a_n}中${a_k}=1（k∈{N^*}）$，求证：数列{a_n}中有无穷项为1；
（Ⅲ）已知数列{a_n}中任何一项都不等于1，记b_n=max{a_2n-1，a_2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{b_n}是单调递减数列．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出．
（Ⅱ）${a_k}=1（k∈{N^*}）$，假设a_k+1=m，对m分类讨论，利用已知递推关系即可证明．
（Ⅲ）由条件可知a_n＞1（n=1，2，3，…）．由于{a_n}中任何一项不等于1，可得a_n≠a_n+1（n=1，2，3，…）．分类讨论：①若a_2n-1＞a_2n，则b_n=a_2n-1．②若a_2n-1＜a_2n，则b_n=a_2n．再利用递推关系即可证明．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=1，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}＜$1，∴a₃=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=2．
同理可得：a₄=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=2，a₅=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{4}}$=1．
（Ⅱ）${a_k}=1（k∈{N^*}）$，假设a_k+1=m，
①当m=1时，依题意有a_k+2=a_k+3=…=1，
②当m＞1时，依题意有a_k+2=m，a_k+3=1，
③当m＜1时，依题意有${a_{k+2}}=\frac{1}{m}$，${a_{k+3}}=\frac{1}{m^2}$，${a_{k+4}}=\frac{1}{m}$，${a_{k+5}}=\frac{1}{m}$，a_k+6=1．
由以上过程可知：若${a_k}=1（k∈{N^*}）$，在无穷数列{a_n}中，第k项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列{a_n}中有无穷项为1．
（Ⅲ）证明：由条件可知a_n＞1（n=1，2，3，…），
∵{a_n}中任何一项不等于1，∴a_n≠a_n+1（n=1，2，3，…）．
①若a_2n-1＞a_2n，则b_n=a_2n-1．
∵${a_{2n+1}}=\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}}}$，∴a_2n-1＞a_2n+1．
若$\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}^2}}＞1$，则${a_{2n+2}}=\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}^2}}＜{a_{2n-1}}$，于是a_2n-1＞a_2n+2；
若$\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}^2}}＜1$，则${a_{2n+2}}=\frac{{{a_{2n}}}}{{\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}}}}}=\frac{{{a_{2n}}^2}}{{{a_{2n-1}}}}=\frac{{{a_{2n}}}}{{a{\;}_{2n-1}}}•{a_{2n}}＜{a_{2n}}＜{a_{2n-1}}$，于是a_2n-1＞a_2n+2；
若$\frac{{{a_{2n-1}}}}{{{a_{2n}}^2}}=1$，则a_2n+2=1，于题意不符；
∴a_2n-1＞max{a_2n+1，a_2n+2}，即b_n＞b_n+1．
②若a_2n-1＜a_2n，则b_n=a_2n．
∵${a_{2n+1}}=\frac{{{a_{2n}}}}{{{a_{2n-1}}}}$，∴a_2n＞a_2n+1；
∵${a_{2n+2}}=\frac{{{a_{2n}}}}{{{a_{2n+1}}}}$，∴a_2n＞a_2n+2；
∴a_2n＞max{a_2n+1，a_2n+2}，即b_n＞b_n+1．
综上所述，对于一切正整数n，总有b_n＞b_n+1，所以数列{b_n}是单调递减数列．

点评 本题考查了递推关系、分类讨论方法、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．