Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（A+C）．
（1）求角B的大小；
（2）求函数f（x）=2cos2x+cos（2x-B）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值及对应x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知式子和正弦定理可得cosB，可得角B；
（2）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{3}}）$，由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$可得$2x+\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}}]$，结合三角函数的图象可得最值．

解答 解：（1）∵在△ABC中bcosA=（2c+a）cos（π-B），
∴由正弦定理可得sinBcosA=-（2sinC+sinA）cosB，
∴sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosB，
∴sin（A+B）=-2sinCcosB，
∴sinC=-2sinCcosB，
约掉sinC可得$cosB=-\frac{1}{2}$，可得$B=\frac{2π}{3}$；
（2）由三角函数公式化简可得：
$f（x）=2cos2x+cos2xcos\frac{2π}{3}+sin2xsin\frac{2π}{3}$
=$\frac{3}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$=$\sqrt{3}sin（{2x+\frac{π}{3}}）$
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$2x+\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}}]$，
∴当$2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}$即$x=\frac{π}{2}$时，函数取最小值$f（x）=\sqrt{3}•（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）=-\frac{3}{2}$
∴函数f（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为$-\frac{3}{2}$，此时$x=\frac{π}{2}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角函数的最值，属中档题．