Question

10．求曲线xy=1在点P（x₀，y₀）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 由xy=1即y=$\frac{1}{x}$，求得导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0得到y，x轴的截距，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：xy=1即y=$\frac{1}{x}$的导数为y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有曲线点P（x₀，y₀）处的切线的斜率为k=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
切点为（x₀，$\frac{1}{{x}_{0}}$），
可得点P（x₀，y₀）处的切线的方程为y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
令x=0可得，y=$\frac{2}{{x}_{0}}$；令y=0可得x=2x₀，
即有切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$•|2x₀|•|$\frac{2}{{x}_{0}}$|=2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．