Question

5．已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AE=2EB，AF=2FC，将△AEF沿EF折起，使A变到A′，使平面A′EF⊥平面EFCB．
（1）试在段A′C上确定一点H，使FH∥平面A′BE；
（2）试求三棱锥A′-EBC的外接球的半径与三棱锥A′-EBC的表面积．

Answer 1

分析 （1）由AE=2EB，AF=2FC，可得EF∥BC，且EF=$\frac{2}{3}BC$，在底面BEFC中，过F作FG∥EB，交BC于G，在平面A′BC中，过G作GH∥A′B交A′C于H，连接FH，由面面平行的判定可得平面HGF∥面A′BE，从而得到FH∥平面A′BE，且$A′H=\frac{2}{3}A′C$；
（2）由题意可得三棱锥A′-EBC的三个侧面和底面均为直角三角形，求解个直角三角形面积，作和后可得三棱锥A′-EBC的表面积；
在直角三角形EBC中，取EC中点K，则KE=KB=KC，过K作KO∥A′E交A′C于O，则O为A′C的中点，此时OA′=OE=OB=OC，即OA′为三棱锥A′-EBC的外接球的半径，求解直角三角形得三棱锥A′-EBC的外接球的半径．

解答 解：（1）如图
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=5，
∵AE=2EB，AF=2FC，
∴EF∥BC，且EF=$\frac{2}{3}BC$，
在底面BEFC中，过F作FG∥EB，交BC于G，
在平面A′BC中，过G作GH∥A′B交A′C于H，连接FH，
∵FG∥EB，BE?面A′BE，FG?面A′BE，
∴FG∥面A′BE．
∵GH∥A′B，A′B?面A′BE，HG?面A′BE，
∴HG∥面A′BE，
又HG∩FG=G，
∴平面HGF∥面A′BE，
则FH∥平面A′BE，
由EF=BG=$\frac{2}{3}BC$，可得$A′H=\frac{2}{3}A′C$；
（2）A′E=2，BE=1，BC=4，
∵∠EBC=90°，
∴$EC=\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{17}$，$A′B=\sqrt{5}$，
由A′EF⊥平面EFCB，且A′E⊥EF，
可得A′E⊥平面EFCB，
∴△A′EB，△A′EC为Rt△，
由面A′EB⊥平面EFCB，
BC⊥BE，可得A′B⊥BC，
则△A′BC，△EBC为Rt△，
∴三棱锥A′-EBC的表面积为$\frac{1}{2}（1×4+1×2+4×\sqrt{5}+2×\sqrt{17}）$=$3+2\sqrt{5}+\sqrt{17}$；
在直角三角形EBC中，取EC中点K，
则KE=KB=KC，过K作KO∥A′E交A′C于O，
则O为A′C的中点，此时OA′=OE=OB=OC，
即OA′为三棱锥A′-EBC的外接球的半径，等于$\frac{1}{2}A′C=\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+17}=\frac{1}{2}\sqrt{21}$．

点评 本题考查平面图形的折叠问题，考查了直线与平面平行的判定，考查棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．