Question

16．已知正数a，b满足2ab+b²=b+1，则a+5b的最小值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 正数a，b满足2ab+b²=b+1，可得：a=$\frac{1+b-{b}^{2}}{2b}$＞0．则a+5b=$\frac{1+b-{b}^{2}}{2b}$+5b=$\frac{1}{2}（9b+\frac{1}{b}）$+$\frac{1}{2}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵正数a，b满足2ab+b²=b+1，
∴a=$\frac{1+b-{b}^{2}}{2b}$＞0．
则a+5b=$\frac{1+b-{b}^{2}}{2b}$+5b=$\frac{1}{2}（9b+\frac{1}{b}）$+$\frac{1}{2}$≥$\frac{1}{2}×2\sqrt{9b×\frac{1}{b}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，当且仅当b=$\frac{1}{3}$，a=2时取等号．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．