Question

4．用数学归纳法证明：当n∈N⁺时，1+2²+3³+…+nⁿ＜（n+1）ⁿ．

Answer 1

分析 直接利用数学归纳法的证明步骤，n=1时验证不等式成立，假设n=k时不等式成立，然后证明n=k+1时，不等式也成立．

解答 证明：利用数学归纳法证明．
①当n=1时，左边=1，右边=2，左边＜右边，不等式成立；
②假设n=k时，不等式成立，即1+2²+3³+…+k^k＜（k+1）^k．
那么当n=k+1时，1+2²+3³+…+k^k+（k+1）^k+1＜（k+1）^k+（k+1）^k+1=（k+1）^k（1+k+1）=（k+1）^k（k+2）＜（k+2）^k（k+2）＜（k+2）^k+1，
这就是说，n=k+1时，不等式也成立．
由①②可知，当n∈N⁺时，1+2²+3³+…+nⁿ＜（n+1）ⁿ．

点评 本题考查数列在不等式证明中的应用，考查数学归纳法的证明步骤，注意用上假设是证明问题的关键，是中档题．