Question

8．若正数x，y，z满足6x+y+5z=2，则$\frac{1}{y+2z}+\frac{2}{2x+z}$的最小值为$\frac{7}{2}$+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 $\frac{1}{y+2z}+\frac{2}{2x+z}$=$\frac{6x+y+5z}{2（y+2z）}$+$\frac{6x+y+5z}{2x+z}$，从而利用基本不等式证明．

解答 解：$\frac{1}{y+2z}+\frac{2}{2x+z}$
=$\frac{6x+y+5z}{2（y+2z）}$+$\frac{6x+y+5z}{2x+z}$
=$\frac{3（2x+z）+y+2z}{2（y+2z）}$+$\frac{3（2x+z）+y+2z}{2x+z}$
=$\frac{3}{2}$•$\frac{2x+z}{y+2z}$+$\frac{1}{2}$+3+$\frac{y+2z}{2x+z}$
≥2$•\sqrt{\frac{3}{2}}$+$\frac{7}{2}$=$\frac{7}{2}$+$\sqrt{6}$；
（当且仅当$\frac{3}{2}$•$\frac{2x+z}{y+2z}$=$\frac{y+2z}{2x+z}$时，等号成立）；
故答案为：$\frac{7}{2}$+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及基本不等式的应用．