Question

7．设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上是偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x³-ax（a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若a∈（0，1]时，f（a）=0，求a的值；
（3）是否存在实数a使得x∈（0，1]时，f（x）的最大值为1？

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性，求f（x）的解析式；
（2）根据当x∈（0，1]时的函数解析式，解方程f（a）=0，即可求a的值；
（3）求函数的导数，利用导数研究使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1成立的条件，即可求解a．

解答 解：（1）若x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），
当x∈[-1，0）时，f（x）=x³-ax
∴f（-x）=-x³+ax，
∵f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，
∴f（-x）=-x³+ax=f（x），
即f（x）=-x³+ax，x∈（0，1]，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}-ax，x∈[{-1，0}）\\-{x^3}+ax，x∈（{0，1}]\end{array}\right.$；    
（2）∵当x∈（0，1]时，f（x）=-x³+ax，
∴若a∈（0，1]，则由f（a）=-a³+a²=0，
得a²（1-a）=0，解得a=1．
（3）当x∈（0，1]时，f（x）=-x³+ax，
∴f'（x）=-3x²+a，
∵0＜x²≤1，∴-3≤-3x²＜0，
当a＞3时，f（x）在（0，1]上递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=a-1=1，
即a=2，不合题意．
当0≤a≤3时，f'（x）=-3x²+a，令f'（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{a}{3}}$，
列表如下：

x	（0，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）	$\sqrt{\frac{a}{3}}$	（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，1）
f'（x）	+	0	-
f（x）	递增	最大值	递减

∴f（x）在x=$\sqrt{\frac{a}{3}}$处取得最大值-（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）${\;}^{3}+a•\sqrt{\frac{a}{3}}=1$，解得a=$\root{3}{\frac{27}{4}}＜3$．
当a＜0，f'（x）=-3x²+a＜0，f（x）在（0，1]上递减，故f（x）无最大值，不合题意．
综上所述，存在实数$a=\root{3}{{\frac{27}{4}}}$，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的最值，要求熟练掌握导数在研究函数中的应用．