Question

2．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点P（a，$\frac{7}{8}$）到焦点距离为1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线y=kx+2交C与M、N两点，Q是线段MN的中点，过Q作x轴的垂线交C于点T．
①证明：抛物线C在点T处的切线与MN平行；
②是否存在实数k使$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）①设M（x₁，2x₁²），N（x₂，2x₂²），把直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，进而求得TM的坐标，设抛物线在点T处的切线l的方程将y=2x²代入进而求得m和k的关系，进而可知l∥MN．
②假设存在实数k，使$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=0成立，则可知TM⊥TN，又依据Q是MN的中点进而可知|TQ|=$\frac{1}{2}$|MN|．根据①中的条件，分别表示出|TQ|和|MN|代入求得k．

解答 （1）解：∵抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点P（a，$\frac{7}{8}$）到焦点距离为1，
∴$\frac{7}{8}$+$\frac{p}{2}$=1，
∴p=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线C的方程为x²=$\frac{1}{2}$y；
（2）①证明：设M（x₁，2x₁²），N（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
由韦达定理得x₁+x₂=$\frac{k}{2}$，x₁x₂=-1，
∴T点的坐标为（$\frac{k}{4}$，$\frac{{k}^{2}}{8}$）．
设抛物线在点T处的切线l的方程为y-$\frac{{k}^{2}}{8}$=m（x-$\frac{k}{4}$），
将y=2x²代入上式得$2{x}^{2}-mx+\frac{mk}{4}-\frac{{k}^{2}}{8}$=0，
∵直线l与抛物线C相切，
∴△=m²-8（$\frac{mk}{4}$-$\frac{{k}^{2}}{8}$）=（m-k）²=0，
∴m=k，即l∥MN．
②解：假设存在实数k，使$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=0，则TM⊥TN，
又∵Q是MN的中点，∴|TQ|=$\frac{1}{2}$|MN|．
由①知y_Q=$\frac{{k}^{2}}{4}$+2．
∵TQ⊥x轴，
∴|TQ|=$\frac{{k}^{2}}{4}$+2-$\frac{{k}^{2}}{8}$=$\frac{{k}^{2}+16}{8}$．
又|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}+16}$．
∴$\frac{{k}^{2}+16}{8}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{{k}^{2}+16}$．，
解得k=±2．
即存在k=±2，使$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=0．

点评 本题主要考查了抛物线的方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．